いま、x→a+0 のときf(x)＝g(x)＝０　なので

　　　　f(x)　　　　　 　　f(x)−f(a)
　 　―――― ＝ 　――――――――　　^（1）
　　　　g(x)　　　　 　　g(x)−g(a)

平均値の定理より

　　　　f(x)−f(a) 　＝　 f(C1)′(x−a) 　　　（a＜C1＜x） 　 　（2）
　　　　g(x)−g(a)　＝　g(C2)′(x−a) 　　　（a＜C2＜x）　　　（3）

となる C1 ,C2　が必ず存在する。(2)(3)式を（1）式の右辺に代入して　

　　　　f(x)　　　　　 　　 f(C1)′
　 　―――― ＝ 　――――――――　　^（4）
　　　　g(x)　　　　 　　　 g(C2)′

x→a+0 のとき C1→a+0, C2→a+0　なので
　　　　　　f(x)　　　　　　　　　　 　f(x)′
　lim 　―――― ＝ 　lim 　――――　　
^x→^a+0　　g(x)　　　　^x→^a+0　　g(x)′

[証明終わり]

ところで、x→a+0 のとき f(x)＝g(x)＝∞　のときも証明できることを示す。

　　　　　　　　 　　　　　　　f(x)　　
　　　　　　　　　　　　　――――　
　　　　f(x)　　　　　　　f(a)g(a)　　
　 　―――― ＝ 　―――――――――　　
　　　　g(x)　　　　 　　　　g(x)　　
　　　　　　　　　　　　　　――――　
　　　　　　　　　　　　　　f(a)g(a)　　　

　　　　　　　　 　　　　　　f(x)　　　　　　1
　　　　　　　　　　　　――――　−　――――
　　　　f(x)　　　　　　f(a)g(a)　　　　g(a)
　 　―――― ＝ 　――――――――――――　　^（5）
　　　　g(x)　　　　 　　g(x)　　　　　　　1
　　　　　　　　　　　　――――　−　――――
　　　　　　　　　　　　f(a)g(a)　　　　　f(a)

f(a)g(a)　を分子分母にかけて、（1）式

　　　　f(x)　　　　　 　　f(x)−f(a)
　 　―――― ＝ 　――――――――　　^（1）
　　　　g(x)　　　　 　　g(x)−g(a)

を得る。後は平均値の定理より f(x)＝g(x)＝∞　のときも同様に証明できる。